Skip to content

28.09.2013

О ГРАНИЦАХ, КОТОРЫЕ НАУКЕ ПРЕОДОЛЕТЬ НЕ ДАНО

Основания математики — математическая система, разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин. Основания математики включают в себя три компонента:

1.      Первичные математические объекты максимальной общности (не определяемые через другие математические объекты).

2.      Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными. 

3.      Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений другие, столь же истинные.

Основания математики – центральная проблема философии математики. Они предназначены для надежности математических утверждений, то есть являются фундаментом этой науки.

Евклид в III веке до н. э. в своих «Началах» за первичные объекты принял натуральные числа (1,2,3…) и геометрические величины. Позднее были предложены новые системы, различающиеся своим философским подходом и пониманием сущности математики. Все эти системы были предназначены для обеспечения надёжности математических утверждений. Однако, чем больше углублялись в проблему оснований, тем больше возникало вопросов и противоречий. Были обнаружены принципиальные ограничения возможностей формальных систем, возникли также разногласия в вопросах какие аксиомы и логические средства допустимы в аксиоматике оснований.

Общепризнанных оснований математики до сих пор не существует. Например Курт Гёдель доказал, что некоторые фундаментальные утверждения в математике недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования. Исследования в этой области продолжаются, хотя и существует мнение, что математика в целом в обосновании не нуждается.

Ещё античные математики ставили цель дать всем математическим теориям общие основания, которые обеспечат надёжность конкретным теориям и прояснят их. В других науках истинность утверждений доказывается практической проверкой, наблюдениями и т. д. Математика – это чистая абстракция не имеющая непосредственной связи с практикой. В математике истинным считается утверждение (теорема), которое может быть выведено с помощью общепринятых логических рассуждений из других теорем, истинность которых уже доказана. Такой подход требует наличия начальной непротиворечивой системы утверждений (аксиом), истинность которых принимается без доказательства. Кроме того, логическое доказательство также не должно вызывать никаких сомнений в его ясности, полноте и надёжности.

Основания математики должны иметь понятия свободные от противоречий. Когда несколько теорий в той или иной степени удовлетворяют этому требованию, принимаются во внимание дополнительные критерии оснований математики: желательно чтобы основания математики предоставляли как можно более широкие возможности для построения математических теорий как можно более простым и элегантным способом. Выбор критериев неоднозначен и исследование этих вопросов лежит на грани математики и философии.

Само понятие обоснования математики могло появиться только тогда, когда была создана целостная система математических знаний, основанная на логическом выведении одних математических истин из других, из не вызывающих сомнений аксиом. Пифагорейская школа VI в. до н. э. в древней Греции ввела логическое доказательство как необходимый компонент математической теории и разработала методологию доказательства, в том числе «доказательство от противного». Базовыми объектами пифагорейцев были натуральные числа. Философской основой пифагорейской математики было убеждение в том, что Вселенная была создана по математическому плану, «всё есть число», из чего следовало, что законы природы познаваемы, существует только одна математика, и она содержит систему абсолютных, вечных истин. И попытались все известные им закономерности свести к числовым соотношениям. Однако открытие проблемы несоизмеримости отрезков привело к отказу от этого принципа и переходу к геометрическому способу рассуждений. Но и геометрические исследования, основанные на идеализированных понятиях точек, линий и других фигур, вызвали в V веке до н. э. критику со стороны Зенона Элейского, который поставил вопрос — как реальный путь движения может состоять из непротяжённых точек. Эта проблема (дискретность или непрерывность пространства и времени) обсуждается в философии науки до сих пор.

В V веке до н. э. разразился первый кризис оснований математики — пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение нельзя выразить ни натуральным числом, ни дробью. Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский — он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции, аналогичные числовым.

Первой целостной системой оснований математики стали «Начала» Евклида (III век до н. э.), надолго ставшие фундаментом последующих достижений. Этот труд положил в основу математики вместо арифметики геометрию. В первой книге «Начал» Евклид даёт 14 аксиом геометрии и арифметики, затем из них логически выводятся многочисленные теоремы.

Однако уже в античные времена были критически отмечены недостатки евклидовского труда — например, Архимедом. Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось. Многие рассуждения Евклида опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Аксиоматика Евклида не позволяет обосновать важные для доказательств факты — например, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника, или что две окружности радиуса R, чьи центры находятся на расстоянии R, пересекаются в двух точках.

Сама идея построения числовой арифметики на основе геометрии оказалась стратегической ошибкой — начиная с аналитической геометрии Декарта (XVII век), математики поступают наоборот и решают геометрические задачи с помощью числовых уравнений.

Европейские учёные Средневековья и начала Нового времени разделяли античные идеи о том, что в основу установленных свыше законов природы были положены математические принципы. Это означало, что люди не создают математические теории, а открывают те, что изначально были встроены в мироздание, поэтому математика единственна, неоспорима, а её истины абсолютны.

В конце XVII века Ньютон и Лейбниц создали мощные и чрезвычайно плодотворные методы математического анализа, который тогда называли «анализом (или исчислением) бесконечно малых». Сфера применения математики в самых разных науках многократно расширилась, методы её существенно углубились, но математическому анализу требовалось найти столь же строгое, как у Евклида, обоснование. В 1784 году Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее объяснение того, «каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения» о существовании бесконечно малых. Нечёткость оснований анализа привела к многочисленным ошибкам — высказывались и даже доказывались ошибочные теоремы.

В XIX веке вера в то, что законы математики составляют своего рода «идейный скелет» мироздания, пошатнулась – произошел второй кризис математики. Серьёзным ударом по этому мнению стали открытия XIX века — неевклидова и риманова геометрия, необычные типы чисел – особенно комплексные числа (комплексное число Z = a + bi где a, b — действительные числа, i — мнимая единица, квадрат которого равен –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью) и кватернионы (система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел; кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств). Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии».

В первой половине XIX века Огюстен Луи Коши наконец дал ясное обоснование анализа на основе понятия предела; при этом бесконечно малые из особого вида чисел превратились в переменные, сходящиеся к нулю. Подход Коши, правда, был ещё не вполне строгим, поскольку не включал теорию вещественных чисел. Завершил основания анализа полвека спустя Карл Вейерштрасс. В 1837 году Уильям Роуэн Гамильтон полностью легализовал отрицательные и комплексные числа, описав их строгие модели с помощью пар чисел. Сильное влияние на философию математики оказало также открытие и обоснование неевклидовой геометрии как полноценной альтернативы евклидовой.

Во второй половине XIX века произошли два важнейших события — создание теории множеств и математической логики, это позволило поставить обоснование математики на качественно новый уровень строгости. В 1879 году Фреге опубликовал систему аксиом математической логики, в 1880-е годы Пеано предложил строгую систему аксиом для натуральных чисел, а Дедекинд — для вещественных. В 1899 году Гильберт издал «Основания геометрии», в которой все недостатки евклидовой аксиоматики были устранены. В итоге к концу XIX века почти вся математика была построена на базе строгой аксиоматики.

В 1873 году Георг Кантор ввёл понятие произвольного (конечного или бесконечного) числового множества, а затем и общее понятие множества — предельно абстрактного понятия в математике. С помощью взаимно-однозначных отображений он ввёл понятие равномощности множеств, потом определил сравнение мощностей на больше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине их мощности: конечные, счётные, континуальные и т. д. Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали.

На первых порах теория множеств встретила у многих математиков доброжелательный приём и рассматривалась как будущая основа всей математики. Однако последующие события показали, что привычная логика не годится при исследовании бесконечных объектов, а интуиция не всегда помогает сделать правильный выбор. Первое противоречие обнаружилось при рассмотрении самого большого множества — множества всех множеств. Его пришлось исключить из математики как недопустимое. Появились и другие противоречия.

Анри Пуанкаре, который вначале принял теорию множеств и даже использовал в своих исследованиях, позже решительно отверг её и назвал «тяжёлой болезнью математики». Другая группа математиков выступила, с некоторыми оговорками, в защиту теории.

Создавшееся положение многими расценивалось как третий кризис оснований математики. Положение усугубило открытие «аксиомы выбора» (1904, Цермело). Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно, и это обстоятельство ряд математиков посчитали совершенно неприемлемым, тем более что некоторые следствия аксиомы выбора противоречили интуиции. В отношении аксиомы выбора у математиков имеются четыре возможности: принять, отвергнуть, принять в ограниченном виде (например, только аксиому счётного выбора) или принять альтернативную аксиому детерминированности. При этом нет убедительных объективных оснований предпочесть один из этих вариантов. Все эти споры поставили трудный вопрос — что вообще означает в математике понятие «существования»? Например, было доказано, что поле вещественных чисел можно упорядочить, но какое-либо описание этого порядка отсутствует.

В начале XX века удалось согласовать аксиоматику теории множеств, свободную от обнаруженных ранее противоречий, так что большинство математиков приняли теорию множеств. Тем не менее былого единства математики больше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды на обоснование математики. Историки выделяют четыре основных направления поисков общеприемлемых оснований математики, которые в первой половине XX века вели между собой неприм