Skip to content

18.11.2011

О ГРАНИЦАХ, КОТОРЫЕ НАУКЕ ПРЕОДОЛЕТЬ НЕ ДАНО

Основания математики — математическая система, разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин. Основания математики включают в себя три компонента:

1.      Первичные математические объекты максимальной общности (не определяемые через другие математические объекты).

2.      Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными. 

3.      Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений другие, столь же истинные.

Основания математики – центральная проблема философии математики. Они предназначены для надежности математических утверждений, то есть являются фундаментом этой науки.

Евклид в III веке до н. э. в своих «Началах» за первичные объекты принял натуральные числа (1,2,3…) и геометрические величины. Позднее были предложены новые системы, различающиеся своим философским подходом и пониманием сущности математики. Все эти системы были предназначены для обеспечения надёжности математических утверждений. Однако, чем больше углублялись в проблему оснований, тем больше возникало вопросов и противоречий. Были обнаружены принципиальные ограничения возможностей формальных систем, возникли также разногласия в вопросах какие аксиомы и логические средства допустимы в аксиоматике оснований.

Общепризнанных оснований математики до сих пор не существует. Например Курт Гёдель доказал, что некоторые фундаментальные утверждения в математике недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования. Исследования в этой области продолжаются, хотя и существует мнение, что математика в целом в обосновании не нуждается.

Ещё античные математики ставили цель дать всем математическим теориям общие основания, которые обеспечат надёжность конкретным теориям и прояснят их. В других науках истинность утверждений доказывается практической проверкой, наблюдениями и т. д. Математика – это чистая абстракция не имеющая непосредственной связи с практикой. В математике истинным считается утверждение (теорема), которое может быть выведено с помощью общепринятых логических рассуждений из других теорем, истинность которых уже доказана. Такой подход требует наличия начальной непротиворечивой системы утверждений (аксиом), истинность которых принимается без доказательства. Кроме того, логическое доказательство также не должно вызывать никаких сомнений в его ясности, полноте и надёжности.

Основания математики должны иметь понятия свободные от противоречий. Когда несколько теорий в той или иной степени удовлетворяют этому требованию, принимаются во внимание дополнительные критерии оснований математики: желательно чтобы основания математики предоставляли как можно более широкие возможности для построения математических теорий как можно более простым и элегантным способом. Выбор критериев неоднозначен и исследование этих вопросов лежит на грани математики и философии.

Само понятие обоснования математики могло появиться только тогда, когда была создана целостная система математических знаний, основанная на логическом выведении одних математических истин из других, из не вызывающих сомнений аксиом. Пифагорейская школа VI в. до н. э. в древней Греции ввела логическое доказательство как необходимый компонент математической теории и разработала методологию доказательства, в том числе «доказательство от противного». Базовыми объектами пифагорейцев были натуральные числа. Философской основой пифагорейской математики было убеждение в том, что Вселенная была создана по математическому плану, «всё есть число», из чего следовало, что законы природы познаваемы, существует только одна математика, и она содержит систему абсолютных, вечных истин. И попытались все известные им закономерности свести к числовым соотношениям. Однако открытие проблемы несоизмеримости отрезков привело к отказу от этого принципа и переходу к геометрическому способу рассуждений. Но и геометрические исследования, основанные на идеализированных понятиях точек, линий и других фигур, вызвали в V веке до н. э. критику со стороны Зенона Элейского, который поставил вопрос — как реальный путь движения может состоять из непротяжённых точек. Эта проблема (дискретность или непрерывность пространства и времени) обсуждается в философии науки до сих пор.

В V веке до н. э. разразился первый кризис оснований математики — пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение нельзя выразить ни натуральным числом, ни дробью. Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский — он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции, аналогичные числовым.

Первой целостной системой оснований математики стали «Начала» Евклида (III век до н. э.), надолго ставшие фундаментом последующих достижений. Этот труд положил в основу математики вместо арифметики геометрию. В первой книге «Начал» Евклид даёт 14 аксиом геометрии и арифметики, затем из них логически выводятся многочисленные теоремы.

Однако уже в античные времена были критически отмечены недостатки евклидовского труда — например, Архимедом. Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось. Многие рассуждения Евклида опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Аксиоматика Евклида не позволяет обосновать важные для доказательств факты — например, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника, или что две окружности радиуса R, чьи центры находятся на расстоянии R, пересекаются в двух точках.

Сама идея построения числовой арифметики на основе геометрии оказалась стратегической ошибкой — начиная с аналитической геометрии Декарта (XVII век), математики поступают наоборот и решают геометрические задачи с помощью числовых уравнений.

Европейские учёные Средневековья и начала Нового времени разделяли античные идеи о том, что в основу установленных свыше законов природы были положены математические принципы. Это означало, что люди не создают математические теории, а открывают те, что изначально были встроены в мироздание, поэтому математика единственна, неоспорима, а её истины абсолютны.

В конце XVII века Ньютон и Лейбниц создали мощные и чрезвычайно плодотворные методы математического анализа, который тогда называли «анализом (или исчислением) бесконечно малых». Сфера применения математики в самых разных науках многократно расширилась, методы её существенно углубились, но математическому анализу требовалось найти столь же строгое, как у Евклида, обоснование. В 1784 году Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее объяснение того, «каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения» о существовании бесконечно малых. Нечёткость оснований анализа привела к многочисленным ошибкам — высказывались и даже доказывались ошибочные теоремы.

В XIX веке вера в то, что законы математики составляют своего рода «идейный скелет» мироздания, пошатнулась – произошел второй кризис математики. Серьёзным ударом по этому мнению стали открытия XIX века — неевклидова и риманова геометрия, необычные типы чисел – особенно комплексные числа (комплексное число Z = a + bi где a, b — действительные числа, i — мнимая единица, квадрат которого равен –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью) и кватернионы (система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел; кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств). Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии».

В первой половине XIX века Огюстен Луи Коши наконец дал ясное обоснование анализа на основе понятия предела; при этом бесконечно малые из особого вида чисел превратились в переменные, сходящиеся к нулю. Подход Коши, правда, был ещё не вполне строгим, поскольку не включал теорию вещественных чисел. Завершил основания анализа полвека спустя Карл Вейерштрасс. В 1837 году Уильям Роуэн Гамильтон полностью легализовал отрицательные и комплексные числа, описав их строгие модели с помощью пар чисел. Сильное влияние на философию математики оказало также открытие и обоснование неевклидовой геометрии как полноценной альтернативы евклидовой.

Во второй половине XIX века произошли два важнейших события — создание теории множеств и математической логики, это позволило поставить обоснование математики на качественно новый уровень строгости. В 1879 году Фреге опубликовал систему аксиом математической логики, в 1880-е годы Пеано предложил строгую систему аксиом для натуральных чисел, а Дедекинд — для вещественных. В 1899 году Гильберт издал «Основания геометрии», в которой все недостатки евклидовой аксиоматики были устранены. В итоге к концу XIX века почти вся математика была построена на базе строгой аксиоматики.

В 1873 году Георг Кантор ввёл понятие произвольного (конечного или бесконечного) числового множества, а затем и общее понятие множества — предельно абстрактного понятия в математике. С помощью взаимно-однозначных отображений он ввёл понятие равномощности множеств, потом определил сравнение мощностей на больше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине их мощности: конечные, счётные, континуальные и т. д. Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали.

На первых порах теория множеств встретила у многих математиков доброжелательный приём и рассматривалась как будущая основа всей математики. Однако последующие события показали, что привычная логика не годится при исследовании бесконечных объектов, а интуиция не всегда помогает сделать правильный выбор. Первое противоречие обнаружилось при рассмотрении самого большого множества — множества всех множеств. Его пришлось исключить из математики как недопустимое. Появились и другие противоречия.

Анри Пуанкаре, который вначале принял теорию множеств и даже использовал в своих исследованиях, позже решительно отверг её и назвал «тяжёлой болезнью математики». Другая группа математиков выступила, с некоторыми оговорками, в защиту теории.

Создавшееся положение многими расценивалось как третий кризис оснований математики. Положение усугубило открытие «аксиомы выбора» (1904, Цермело). Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно, и это обстоятельство ряд математиков посчитали совершенно неприемлемым, тем более что некоторые следствия аксиомы выбора противоречили интуиции. В отношении аксиомы выбора у математиков имеются четыре возможности: принять, отвергнуть, принять в ограниченном виде (например, только аксиому счётного выбора) или принять альтернативную аксиому детерминированности. При этом нет убедительных объективных оснований предпочесть один из этих вариантов. Все эти споры поставили трудный вопрос — что вообще означает в математике понятие «существования»? Например, было доказано, что поле вещественных чисел можно упорядочить, но какое-либо описание этого порядка отсутствует.

В начале XX века удалось согласовать аксиоматику теории множеств, свободную от обнаруженных ранее противоречий, так что большинство математиков приняли теорию множеств. Тем не менее былого единства математики больше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды на обоснование математики. Историки выделяют четыре основных направления поисков общеприемлемых оснований математики, которые в первой половине XX века вели между собой непримиримую полемику.

Одно из направлений – логицизм Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда, изложенного этими математиками в 1910-1913гг., подвергся резкой критике за искусственный, интуитивно сомнительный характер своей аксиоматики. В 1920-е годы Фреге предложил для преодоления трудностей новый проект обоснования математики, в котором, кроме логики, присутствуют аксиомы геометрии. Существенного развития эта идея не получила. В 1983 году британский логик Криспин Райт предложил новый вариант логистических оснований математики с упрощённой аксиоматикой и свободный от парадоксов. Версия Райта основана на исправлении ранней ошибочной аксиоматики Фреге. Райт вывел всю арифметику из логической аксиоматики. Этот подход получил название неологицизма.

Идейным антиподом логицизма был интуиционизм, сторонники которого ставили интуицию как источник истины выше логики. Пуанкаре заметил: “… для того, чтобы создать какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова “интуиция”. Ещё Декарт писал, что дедукция требуется только для вывода несамоочевидных истин, а первичные принципы (аксиомы) всегда имеют интуитивный характер. По мнению Брауэра и других интуиционистов, математика есть полностью создание человеческой мысли и не зависит от внешнего мира (трудно представить более абсурдное измышление – что называется ум зашел за разум; ведь математика – это всего лишь выражение через человеческое мышление объективно существующих законов мироздания; вопрос о том можно ли мир выразить в другом виде (в «другой математике») будет поставлен в конце статьиА.Б.)

Базовыми истинами интуиционистской математики являются интуитивно очевидные человеческие представления, главные из которых — понятие натурального числа, возникающее естественным образом при счёте (1, 2, 3…) и математической индукции (метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел).

Математическое мышление во всех своих проявлениях также глубоко интуитивно, и логика для него не более чем проверочный инструмент; логика основана на математике, а не математика на логике (впрочем, некоторые логические принципы входят как составная часть в математическую интуицию). “Чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового” – писал Пуанкаре. Когда наука прикасается к границам знания, и когда ученые пытаются перешагнуть эти границы, там главными инструментами становятся гипотеза и философский анализ. Сегодня под интуицией принято понимать способность мышления к непосредственным умозаключениям без промежуточных обоснований и доказательств.

Интуитивные размышления могут быть разного характера. Например, ярким примером аналитической интуиции был Сринивада Рамануджан. Рамануджан родился в 1887г. на юге Индии. Свой путь в математике он начал в 14 лет с двухтомного руководства по тригонометрии Лони. Затем в 16 лет он начал осваивать двухтомное руководство английского математика Карра. В этой книге было собрано 6165 теорем и формул, почти без доказательств и с минимальными пояснениями. Эта книга оказала огромное влияние на его стиль творчества. Не имея представления о том, как проводить строгие доказательства, он формулировал совершенно нетривиальные утверждения. Ряд из них он отправил в Англию профессору Харди, который получил их в 1913г. Увидев присланные формулы, Харди полагал, что человек, написавший их, владеет очень мощной техникой доказательств и может доказывать более общие результаты. Однако когда Рамануджан приехал в Лондон, оказалось, что никаких доказательств нет, есть только совершенно туманные объяснения. Оказалось, что Рамануджан просто “живет в мире формул”. Показателен случай, описанный Сноу: “Харди часто навещал Рамануджана, когда тот, умирая, находился в больнице в Патни. Именно в одно из таких посещений произошел “инцидент” с номером такси. Харди приехал в Патни на такси, воспользовавшись своим излюбленным транспортным средством. Он вошел в палату, где лежал Рамануджан. Начинать разговор Харди было мучительно трудно и он произнес свою первую фразу: “Если не ошибаюсь, то номер такси, на котором я приехал, 1729. Мне кажется, это скучное число”. На что Рамануджан тотчас же ответил: “Нет, Харди! О нет! Это интересное число. Это самое малое из чисел, представимых в виде суммы двух кубов двумя различными способами”.

В Англии Харди и Рамануджан сформулировали свои самые сильные результаты. Причем многие из них нашли свое доказательство уже после смерти Рамануджана. Появление математика с интуицией чистого числа очень редкое явление. Большинству математиков нужно привлекать к решению своих задач воображение, то есть более наглядные виды интуиции – такие как геометрические интуиции, привлекающие к решению задач пространственные представления и физические интуиции в образах окружающей действительности. Физика и сама предлагала математике пути решения задач. Взять хотя бы теорию уравнений в частных производных. Попытка формулировки в этой теории чисто математических задач, оторванных от реальности ведет в бесконечный поток работ об одном свойстве одного решения одной краевой задачи для одного уравнения.

Философские интуиции вступают в кризисные моменты математической истории. Брауэр подчеркивал, что математические построения осуществляются на интуитивном уровне в доязыковой форме, причем истинным в математике может считаться лишь то, что является интуитивно ясным (однако ничто не мешает интуитивной ясности оказаться иллюзией. А.Б.)  А необходимость общения и сохранения результатов, требующая их закрепления в языке, вела к появлению логического каркаса и к конструированию математических объектов.

За две тысячи лет «Начала» Евклида были детально изучены и геометров столетиями привлекал длинный пятый постулат: “Если прямая, пересекая две другие прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти прямые, будучи продолжены неограниченно, пересекаются с той стороны от третьей прямой, с которой лежат упомянутые выше углы”.

 

Это вело к попыткам доказать пятый постулат, исходя из первых четырех, но все они оказывались безуспешными. Н.И. Лобачевский как и все пытался доказать пятый постулат, но вскоре ученый понимает тщетность усилий в этом направлении. После этого он четко проследил какие утверждения не зависят от пятого постулата и какие зависят, т.е. не могут быть получены ни каким образом без его использования. Другими словами он четко выделил то, что сегодня называют абсолютной геометрией. Такое разделение послужило отправной точкой дальнейших размышлений, которые привели к принципиальному допущению, что через точку С, лежащую вне прямой АВ, плоскости АВС проходит несколько прямых, не встречающих АВ (иными словами: если на плоскости лежат данная прямая и точка не лежащая на данной прямой, то через эту точку можно провести хотя бы две прямые, не пересекающиеся с первой прямой).

Это короткое высказывание переворачивало все прежние интуитивные представления. Открытие Лобачевского было понято лишь по истечении 12 лет после смерти математика. Тот факт, что поворотное допущение столь просто, но влечет за собой большие следствия, свидетельствует о глубоком философском анализе, которому он подверг геометрию. Очевидно, что этот анализ не мог протекать в рамках самой математики и потребовал привлечения внешних, по отношению к ней, соображений.

Успешность интуиционистской программы обоснования математики позже была поставлена под сомнение Гильбертом. Однако, интуиционизм как математическая теория доказал свою жизненность и необходимость.

Из приведенных примеров видно, что философские представления, а если угодно, интуиции, являются необходимыми и крайне полезными на этапе создания новых теорий, причем там им принадлежит решающая роль.

Анализируя процесс математического творчества, Адамар выделил этапы: Первый этап –происходит сознательное исследование проблемы; второй этап – проблема как бы вытесняется в подсознание и исследователь может вообще забыть о ней; третий этап –проблема неожиданно “прорывается” в сознание (иногда этот этап сопровождается предчувствием); и последний этап заключается в проверке и теоретическом оформлении результатов.

Пуанкаре привел рассказ о том, как был написан мемуар о фуксовых функциях. В течение  двух недель он пытался доказать, что функций, подобных тем, которые он впоследствии назвал фуксовыми, не существует. Каждый день он тратил один – два часа и безрезультатно перебирал большое число комбинаций. Но однажды вечером он выпил чашку черного кофе и не мог заснуть. И затем с ним произошло следующее: “идеи возникали во множестве и мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого объединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса и мне оставалось лишь сформулировать результат, что отняло у меня всего несколько часов”. Пуанкаре указывает на большую роль бессознательного. Он считает, что в процессе так называемого “отдыха” между сеансами сознательной работы (часто безуспешной) бессознательное создает огромное число комбинаций, большая часть которых абсолютно бесполезна. Далее они все пропускаются через решето особенного эстетического чувства, знакомого каждому реально действующему математику. Это чувство отбирает лишь те математические предметы, “…элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватить целое, проникая в то же время и в детали” (вспомним, что интуиция – это способность к свернутым умозаключениям). Особенно важно, что это чувство может приводить к заблуждениям, на что также указывает Пуанкаре.

По-видимому, в основе эстетического чувства лежат пласты априорного и неявного знания. Так Пуанкаре считал: “..все мы обладаем интуицией непрерывности любого числа измерений, ибо мы имеем способность построить физическую и математическую непрерывности, что эта способность существует в нас до всякого опыта.” Философ Перминов выводит априоризм из практической ориентации познающего человека. Он полагает, что “представления, лежащие в основе математических понятий – не абстракции и не теоретические идеализации, а интуиции, проистекающие из ориентации познающего субъекта”. Фоллмер считает, что априорные структуры принадлежат к генетическому оснащению, они являются унаследованными и врожденными, поэтому не только независимы от всякого индивидуального опыта, но имеются до опыта и делают вообще опыт возможным. Таким образом видно, что вопрос об истоках существования априорного знания требует отдельного исследования.

Наиболее активные работы по обоснованию математики вела в первой половине XX века школа Гильберта, идеи которой получили у историков название формализм. Гильберт провозгласил цель построить всю математику (а в перспективе — и физику) на единой логической основе. Став после смерти Пуанкаре мировым лидером математиков, Гильберт верил, что для каждой математической теории можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями выводится любая математическая теорема данной теории, которую можно доказать. На Международном математическом конгрессе 1928 года, Гильберт оптимистично заявил: «Не сомневаюсь, что наш новый подход к основаниям математики, который можно было бы назвать теорией доказательства, позволит навсегда покончить со всеми проблемами обоснования математики».

Однако формализм потерял доверие учёных, когда в 1931 году появились теоремы Гёделя о неполноте, показавшие, что никакие синтаксические конструкции Гильберта (для арифметики или содержащих её теорий) не могут обеспечить полноту — всегда существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть.Доказать непротиворечивость арифметики удалось только с привлечением трансфинитной индукции (Генцен, 1936 год). Отсюда следует, что аксиоматика натуральных чисел не охватывает всё содержание арифметики. Но и сам подход Гильберта подвергся критике. Тезис Гильберта о том, что любой непротиворечивый математический объект считается допустимым и существующим, был неприемлем для интуиционистов. Оппоненты также утверждали, что замена истинности на выводимость, формально-синтаксическая «игра с формулами» лишают математические истины смысла, делают математику бессодержательной и не могут отразить связи математики с реальным миром.

Логический анализ парадоксов теории множеств показал, что необходимо ограничить понятие математического объекта, исключив те, которые могут порождать противоречия. Понятие множества было решено определить в строгой системе аксиом; объекты, не порождаемые этой системой, исключаются из числа множеств. И до сих пор в аксиоматической теории множеств не обнаружено противоречий, её версии считаются надёжными. С другой стороны, непротиворечивость аксиоматической теории множеств не доказана, и к тому же она неполна.

Сильной стороной теории множеств в качестве оснований математики является её абстрактность — понятие множества пронизывает все разделы математики, объединяя их единой идеологией и терминологией. Вместе с тем абстрактность теории множеств приводит к ряду трудностей в силу отрыва от традиционного и близкого к опыту материала, из-за чего становится невозможным выбрать общеприемлемые аксиомы. Практически это означает, что существует не одна математика, а целое бесконечное их семейство, члены которого несовместимы друг с другом — например, та же аксиома выбора и альтернативная ей аксиома детерминированности. Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от формальных оснований.

С 70-х годов в связи с развитием компьютеров стало разрабатываться большое количество систем проверки доказательств. Кроме того, появились две новые проблемы обоснования математических результатов, которые, по мнению Дэйвиса, заслуживают названия очередного кризиса: некоторые доказательства теорем насчитывают сотни страниц сложного текста и чрезвычайно трудно проверяемы, а часть результатов (например, решение проблемы четырёх красок или гипотезы Кеплера) получена компьютерным расчётом, и их достоверность зависит от правильности расчётной программы. Дэйвис предсказал: «К 2075 году многие области чистой математики будут построены на использовании теорем, доказательства которых не сможет полностью понять ни один из живущих на Земле математиков — ни в одиночку, ни коллективными усилиями», и главным критерием корректности новых результатов станет консенсус математического сообщества.

Некоторые учёные отрицают как возможность, так и необходимость формального обоснования математики. Академик Ю. И. Манин считает, что обоснование представляет собой не более чем организационное закрепление текущего уровня математических знаний и поэтому всегда обращено в прошлое, а не в будущее.

(Обоснование обращено в прошлое истории математики, но не в прошлое Вселенной. А ведь очевидно, что при формировании Вселенной формировались и ее законы – физические и, вероятно, математические, ибо нет ни формальной, ни интуитивной ясности в вопросе – является ли математика неизменным Абсолютом. Более того – возможно ли существование других абстракций, структурирующих мир подобно нашей математике, в других параллельных Вселенных, существование которых современная физика и философия экзистенциализма допускает. Вопрос физического свода законов параллельных Вселенных рассматривался Хокингом и Хертогом. Хертог пришел к выводу, что законы физики в иных Вселенных должны быть такими же, как в нашей.

Естественно предположить, что и будущее не гарантирует незыблемость законов математики. В снованиях математики вопросов не становится меньше, но и с самым элементарным пластом арифметики – натуральными числами не все так очевидно, а именно – являются ли натуральные числа абсолютной истиной? Всегда ли, и везде ли число 1 и весь бесконечный ряд натуральных чисел означает то же самое, что означают числа в нашем мире в настоящее время?

Чем глубже ученые погружаются в основания математики, тем больше переходят к философским рассуждениям прикасаясь к границам, которые наука не может преодолеть принципиально. А.Б.)

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым.

  

Конспект по источникам:

http://www.km.ru/referats/1FFE33F0A4C64221B9DDB7566AA2CC70

https://ru.wikipedia.org/wiki/Основания_математики

Яшин Б.И. «Математика в контексте философских проблем» http://pyrkov-professor.ru/Portals/0/Knigi/filosofiya/yashin_b_l_matematika_v_kontekste_filosofskih_​problem.pdf

Александр Бабкин



« »

Share your thoughts, post a comment.

(required)
(required)

Note: HTML is allowed. Your email address will never be published.

Subscribe to comments